Hemmes mathematische Rätsel: Welchen Abstand haben die Mittelpunkte?
Ein Rechteck der Länge 8 und der Breite 6 ist durch eine Diagonale in zwei Dreiecke halbiert worden. Welchen Abstand haben die Mittelpunkte der Inkreise dieser beiden Dreiecke?
Zunächst einmal berechnen wir den Radius r der beiden Inkreise. Dazu betrachten wir nur das Dreieck ABC im ersten Bild. Seine Katheten haben die Längen 6 und 8, woraus sich sein Flächeninhalt zu 1/2 · 6 · 8 = 24 und seine Hypotenuse zu √(62 + 82) = 10 ergibt. Das Dreieck ABC setzt sich aus den drei Dreiecken ABM, BCM und CAM zusammen, die Grundseiten der Längen 6, 8 und 10 und Höhen der Länge r haben. Somit gilt 6r/2 + 8r/2 + 10r/2 = 24, was sich zu r = 2 vereinfachen lässt.
Das rote rechtwinklige Dreieck im zweiten Bild hat Katheten der Längen 6 – 2r = 2 und 8 – 2r = 4 und somit eine Hypotenuse der Länge √(22 + 42) = 2√5 ≈ 4,47. Dies ist auch der Abstand der beiden Kreismittelpunkte.
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