Hemmes mathematische Rätsel: Welchen Teil deckt das Quadrat ab?
In einem regelmäßigen Zwölfeck liegt ein Quadrat. Seine Ecken fallen mit Ecken des Zwölfecks zusammen. Den wievielten Teil der Zwölfecksfläche deckt das Quadrat ab?
Das regelmäßige Zwölfeck lässt sich in sechs kleine blaue Quadrate und zwölf gelbe gleichseitige Dreiecke zerlegen, die alle die gleiche Seitenlänge haben wie das Zwölfeck. Das Zwölfeck ragt mit vier trapezförmigen Flächen über das große, grün umrandete Quadrat hinaus. Diese vier Trapeze sind wegen der Symmetrie der Figur gleich. Die linke und die rechte Seite des großen Quadrats halbieren jeweils zwei gelbe Dreiecke und zwei kleine blaue Quadrate. Haben die kleinen Quadrate den Flächeninhalt Q und die Dreiecke den Inhalt D, dann beträgt der Flächeninhalt des Zwölfecks 6Q + 12D = 6(Q + 2D) und der Inhalt der vier Trapeze 4(Q/2 + 2D/2) = 2(Q + 2D). Somit hat das große, grün umrandete Quadrat eine Fläche von 6(Q + 2D) – 2(Q + 2D) = 4(Q + 2D), und es deckt 4(Q + 2D)/(6(Q + 2D)) = 2/3 der Sechseckfläche ab.
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Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
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