Hemmes mathematische Rätsel: Welcher Betrag ist gesucht?
Zwei Brüder aus Frensland verkaufen ihre Schafherde. Sie erhalten für jedes Schaf so viele Taler, wie die Herde Tiere hat. Der Käufer zahlt den Preis mit lauter goldenen 10-Taler-Münzen und einigen wenigen silbernen 1-Taler-Münzen, wobei die Anzahl der Silbermünzen kleiner ist als zehn. Beim Teilen des Geldes nimmt abwechselnd jeder Bruder eine Goldmünze. Der ältere Bruder bekommt die erste und die letzte Goldmünze und gibt deshalb dem jüngeren Bruder sämtliche Silbermünzen. Da das Geld aber so nicht gerecht geteilt ist, stellt der ältere Bruder dem jüngeren einen Scheck aus. Welcher Betrag steht auf dem Scheck?
Von jeder natürlichen Zahl n lässt sich die Einerstelle e abspalten und der Rest als Vielfaches z von 10 ausdrücken. Man kann darum also jede natürliche Zahl als n = 10z + e schreiben. Die beiden Brüder haben ihre n Schafe für n2 Taler verkauft. Diese Zahl lässt sich darstellen als n2 = (10z + e)2 = 100z2 + 20ze + e2. Die beiden ersten Summanden sind geradzahlige Vielfache von z. Für diesen Teil des Geldes bekommen beide Brüder darum gleich viele Goldmünzen. Der dritte Summand e2 kann nur die Werte 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 und 81 annehmen. Alle Zahlen außer 16 und 36 haben eine gerade Zehnerstelle, und die beiden Brüder würden in diesen Fällen gleich viele Goldmünzen bekommen. Bei 16 und 36 erhält der ältere Bruder eine Goldmünze mehr als der jüngere und dieser dafür nur 6 Silbermünzen. Der jüngere Bruder erhält somit 4 Taler weniger als der ältere. Auf dem Scheck muss darum ein Betrag von 2 Talern stehen.
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