Hemmes mathematische Rätsel: Welcher Bruch ist der größte?
Welcher der beiden unendlich tief verschachtelten Brüche ist der größere?
© Flavio Coelho / Getty Images / Moment (Ausschnitt)
Welcher der beiden unendlich tief verschachtelten Brüche, die beide konvergieren, ist der größere?
\( 3+\frac{4}{3+\frac{4}{3+\frac{4}{}}} \)
\( 3+\frac{3+\frac{3+\frac{3+...}{4}}{4}}{4} \)
Hat der gesamte erste Bruch den Wert x, so hat wegen der unendlich tiefen Verschachtelung der Teil des Bruches unter dem obersten Bruchstrich auch den Wert x. Somit gilt für den ersten Bruch x = 3 + 4/x, was sich zu x2 – 3x – 4 = 0 umformen lässt. Diese quadratische Gleichung hat die beiden Lösungen –1 und 4. Die erste Lösung scheidet aus, da der Kettenbruch keinen negativen Wert haben kann. Hat der zweite Bruch den Wert y, so gilt y = 3 + y/4. Daraus erhält man y = 4. Die beiden Brüche sind also gleich groß.
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