Hemmes mathematische Rätsel: In welcher der beiden Zahlen kommt der Primfaktor häufiger vor?
Die heutige Kopfnuss stammt von der Mathematikolympiade der DDR des Jahres 1981. Jede ganze Zahl, die größer ist als 1, ist ein eindeutiges Produkt von Primzahlen. So gilt beispielsweise 168 = 23 · 3 · 7. Der Primfaktor 2 kommt also in 168 dreimal vor. In welcher der beiden Zahlen 1981! und 1000! · 981! kommt der Primfaktor 7 häufiger vor?
Bei n! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · … liefern alle Vielfachen von 7 einen Primfaktor 7, und alle Vielfachen von 72 = 49 liefern einen weiteren Primfaktor 7. Auch alle Vielfachen von 73 = 343, von 74 = 2401 usw. liefern jeweils einen zusätzlichen Primfaktor 7. Da 1981/7 = 283, 1981/49 ≈ 40,4 und 1981/343 ≈ 5,8 ist, kommt in 1981! der Primfaktor 7 genau 283 + 40 + 5 = 328-mal vor. Weil 1000/7 ≈ 142,9, 1000/49 ≈ 20,4, 1000/343 ≈ 2,9, 981/7 ≈ 140,1, 981/49 ≈ 20,02 und 981/343 ≈ 2,9 ist, enthält 1000! · 981! den Primfaktor 7 aber nur 142 + 20 + 2 + 140 + 20 + 2 = 326-mal.
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