Hemmes mathematische Rätsel: Welcher Wert ist gesucht?
Auf einer Kugel sind zwölf Großkreise so angeordnet, dass sich an den N Schnittpunkten immer nur zwei Kreise schneiden. Lassen sich die Zahlen von 1 bis N so auf die N Schnittpunkte setzen, dass die Summe der Zahlen auf jedem Kreis gleich groß ist? Und wenn ja, wie groß ist diese Summe?
Jeder der zwölf Großkreise schneidet jeden der elf anderen Großkreise zweimal. Dadurch kommt man auf 2 · 12 · 11 = 264 Schnittpunkte. Diese Zahl muss allerdings noch durch 2 geteilt werden, denn jeder Kreis ist einmal der schneidende und einmal der geschnittene Kreis. Folglich gibt es nur N = 132 Schnittpunkte. Die beiden Schnittpunkte zweier Großkreise liegen sich immer diametral gegenüber. Setzt man irgendeine Zahl i auf einen der beiden Schnittpunkte und die komplementäre Zahl 133 – i auf den anderen, beträgt ihre Summe 133. Dieses Verfahren wird für alle Schnittpunktpaare wiederholt, wobei aber keine Zahl doppelt verwendet werden darf. Da es auf jedem Großkreis elf Schnittpunktpaare gibt, beträgt die Summe der Zahlen auf jedem Kreis 11 · 133 = 1463.
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