Hemmes mathematische Rätsel: Welcher Wert ist gesucht?
Auf einem Blatt Papier stehen einige reelle Zahlen. Das Quadrat jeder dieser Zahlen ist größer als das Produkt jedes beliebigen Paares von den anderen Zahlen. Wie viele Zahlen können höchstens auf dem Blatt stehen?
Angenommen, dass mindestens vier Zahlen auf dem Blatt stehen, und a wäre die Zahl mit dem kleinsten Betrag |a|. Unter den restlichen Zahlen muss es mindestens zwei Zahlen b und c geben, die das gleiche Vorzeichen haben. Dann gilt bc = |bc| ≥ |a|2 = a2. Dies ist aber ein Widerspruch zu den Voraussetzungen. Folglich können höchstens drei Zahlen auf dem Blatt stehen, von denen das Quadrat jeder dieser Zahlen größer ist als das Produkt der beiden anderen Zahlen. Dass es tatsächlich drei solcher Zahlen gibt, zeigt das Beispiel 1, 2 und –3, denn es gilt 12 = 1 > 2 · (–3) = –6 und 22 = 4 > 1 · (–3) = –3 und (–3)2 = 9 > 1 · 2 = 2.
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