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Hemmes mathematische Rätsel: Welches Verhältnis haben die Seiten der roten Dreiecke?

Das gelbe Dreieck soll rechtwinklig sein. Wie lang müssen demnach die Katheten der roten Dreiecke zueinander haben?
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Der 1944 geborene Schweizer Mathematiker Hans Walser hat viele Jahrzehnte lang als Lehrer an Gymnasien und als Lehrbeauftragter an Universitäten unterrichtet. Er hat eine große Zahl von Aufsätzen für Fachzeitschriften und auch etwa ein Dutzend Bücher verfasst. Das heutige Rätsel schickte er mir im November 2019 zu.

Die 17 gleichen rechtwinkligen roten Dreiecke sind so angeordnet, dass sie das gelbe Dreieck vollständig und lückenlos einschließen. In welchem Verhältnis muss bei den roten Dreiecken die kurze zur langen Kathete stehen, damit das gelbe Dreieck auch rechtwinklig ist? Die Reihenfolge der kurzen Katheten, langen Katheten und Hypotenusen der roten Dreiecke auf dem Umfang des gelben Dreiecks darf dabei nicht verändert werden.

Wenn die Katheten und die Hypotenusen der rechtwinkligen roten Dreiecke a, b und c lang sind und a2 + b2 = c2 gilt, haben die beiden Katheten und die Hypotenuse des gelben Dreiecks die Längen A = a + 2b + 2c, B = 2a + b + 2c und C = 2a + 2b + 3c.

Kürzt man 2a + 2b + 2c = L ab, vereinfachen sich die Längen zu A = L − a, B = L − b und C = L + c. Wenn das gelbe Dreieck rechtwinklig ist, muss A2 + B2 = C2 sein.

Setzt man in diese Gleichung die obigen Ausdrücke ein, erhält man (L − a)2 + (L − b)2 = (L + c)2. Dies wird ausmultipliziert und ergibt L2 − 2La + a2 + L2 − 2Lb + b2 = L2 + 2Lc + c2, was man zu L2 + a2 + b2 = L(2a + 2b + 2c) + c2 zusammenfassen kann.

Diese Gleichung ist, unabhängig vom Verhältnis a : b, immer erfüllt, weil a2 + b2 = c2 und 2a + 2b + 2c = L gilt. Das gelbe Dreieck ist also für jedes Kathetenverhältnis der roten Dreiecke rechtwinklig.

Das Dreieck aus 17 Dreiecken

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