Hemmes mathematische Rätsel: Welches Verhältnis ist gesucht?
Bei einem Beschleunigungsrennen starten Manni und Berni mit ihren Autos gleichzeitig an der Startlinie aus dem Stillstand. Sie fahren die kurze Strecke bis zur Ziellinie mit konstanten, aber unterschiedlichen Beschleunigungen. Manni benötigt für das letzte Viertel der Strecke drei Sekunden und Berni für das letzte Drittel vier Sekunden. In welchem Verhältnis stehen die Fahrtzeiten von Manni und Berni zueinander?
Ein Auto, das mit einer konstanten Beschleunigung a fährt, legt nach dem Start in der Zeit t den Weg w = 1/2at2 zurück. Es benötigt somit für den Weg w die Zeit t = √(2/a) · √w. Wenn Mannis Auto für die gesamte Rennstrecke w die Zeit tM benötigt, braucht es für die ersten drei Viertel der Strecke die Zeit tM√3/4 und somit für das letzte Viertel tM(1 – √3/4) = 3 Sekunden. Daraus erhält man tM = (3 s)/(1 – 1/2√3). Bernis Auto hingegen braucht für die gesamte Rennstrecke die Zeit tB, und damit für die ersten zwei Drittel der Strecke die Zeit tB√2/3. Für das letzte Drittel benötigt es folglich die Zeit tB(1 – √2/3) = 4 Sekunden, was sich zu tB = (4 s)/(1 – 1/3√6) umformen lässt. Nun kann man das Verhältnis der beiden Fahrtzeiten bestimmen zu tM/tB = 3/4(1 – 1/3√6)/(1 – 1/2√3) ≈ 1,0273.
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