Direkt zum Inhalt

Hemmes mathematische Rätsel: Wie ändern sich die Wahrscheinlichkeiten bei gezinkten Würfeln?

Der erste Würfel landet mit 1/5 bei 1, der zweite mit 1/5 bei 6. Alle anderen Wahrscheinlichkeiten sind unverändert. Wie wahrscheinlich würfelt man mit beiden eine 7?
Würfel

Zwischen 1959 und 1971 warb die Firma Litton Industries in den Zeitschriften »Aviation Week« und »Electronic News« für ihre Produkte mit Anzeigen, die jedes Mal eine mathematische Denksportaufgabe enthielten. Am 6. Januar 1969 erschien in »Electronic News« folgende Aufgabe:

Zwei Spielwürfel mit den Augenzahlen von 1 bis 6 sind durch Hohlräume und Gewichte in ihrem Inneren gefälscht worden. Dadurch hat sich bei dem einen Würfel die Wahrscheinlichkeit, eine 1 zu werfen, auf 1/5 erhöht. Die Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen von 2 bis 6 sind gleich groß. Beim zweiten Würfel hat sich die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu werfen, auf 1/5 erhöht. Die Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen von 1 bis 5 sind gleich groß.

Um wie viel hat sich durch diese Fälschung die Wahrscheinlichkeit erhöht, durch einen Wurf mit beiden Würfeln zusammen die Augensumme 7 zu erreichen?

Durch einen Wurf mit zwei Würfeln können 6 · 6 = 36 verschiedene Augenpaare geworfen werden. Dabei ergeben die sechs Paare (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) und (6, 1) die Augensumme 7. Bei ungefälschten Würfeln ist jedes Augenpaar gleich wahrscheinlich, und somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, mit ihnen die Augensumme 7 zu werfen, 6/36 = 1/6.

Bei den gefälschten Würfeln hingegen beträgt die Wahrscheinlichkeit, mit dem ersten Würfel eine 1 oder mit dem zweiten eine 6 zu würfeln, 1/5. Folglich beträgt sie für jede andere Augenzahl (1 −  1/5)/5 = 4/25. Das Augenpaar (1, 6) wird somit mit beiden Würfeln mit der Wahrscheinlichkeit 1/5 · 1/5 = 1/25 erreicht, während jedes der anderen fünf Augenpaare, die eine 7 ergeben, nur mit der Wahrscheinlichkeit 4/25 · 4/25 = 16/625 geworfen wird.

Insgesamt beträgt also die Wahrscheinlichkeit, eine 7 zu werfen, 1/25 + 5 · 16/625 = 21/125. Die Wahrscheinlichkeit, 7 zu werfen, erhöht sich also durch die Fälschung nur um 21/125 − 1/6 = 1/750.

Schreiben Sie uns!

1 Beitrag anzeigen

Wir freuen uns über Ihre Beiträge zu unseren Artikeln und wünschen Ihnen viel Spaß beim Gedankenaustausch auf unseren Seiten! Bitte beachten Sie dabei unsere Kommentarrichtlinien.

Tragen Sie bitte nur Relevantes zum Thema des jeweiligen Artikels vor, und wahren Sie einen respektvollen Umgangston. Die Redaktion behält sich vor, Zuschriften nicht zu veröffentlichen und Ihre Kommentare redaktionell zu bearbeiten. Die Zuschriften können daher leider nicht immer sofort veröffentlicht werden. Bitte geben Sie einen Namen an und Ihren Zuschriften stets eine aussagekräftige Überschrift, damit bei Onlinediskussionen andere Teilnehmende sich leichter auf Ihre Beiträge beziehen können. Ausgewählte Zuschriften können ohne separate Rücksprache auch in unseren gedruckten und digitalen Magazinen veröffentlicht werden. Vielen Dank!

Partnerinhalte