Hemmes mathematische Rätsel: Wie ändern sich die Wahrscheinlichkeiten bei gezinkten Würfeln?
Zwischen 1959 und 1971 warb die Firma Litton Industries in den Zeitschriften »Aviation Week« und »Electronic News« für ihre Produkte mit Anzeigen, die jedes Mal eine mathematische Denksportaufgabe enthielten. Am 6. Januar 1969 erschien in »Electronic News« folgende Aufgabe:
Zwei Spielwürfel mit den Augenzahlen von 1 bis 6 sind durch Hohlräume und Gewichte in ihrem Inneren gefälscht worden. Dadurch hat sich bei dem einen Würfel die Wahrscheinlichkeit, eine 1 zu werfen, auf 1/5 erhöht. Die Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen von 2 bis 6 sind gleich groß. Beim zweiten Würfel hat sich die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu werfen, auf 1/5 erhöht. Die Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen von 1 bis 5 sind gleich groß.
Um wie viel hat sich durch diese Fälschung die Wahrscheinlichkeit erhöht, durch einen Wurf mit beiden Würfeln zusammen die Augensumme 7 zu erreichen?
Durch einen Wurf mit zwei Würfeln können 6 · 6 = 36 verschiedene Augenpaare geworfen werden. Dabei ergeben die sechs Paare (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) und (6, 1) die Augensumme 7. Bei ungefälschten Würfeln ist jedes Augenpaar gleich wahrscheinlich, und somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, mit ihnen die Augensumme 7 zu werfen, 6/36 = 1/6.
Bei den gefälschten Würfeln hingegen beträgt die Wahrscheinlichkeit, mit dem ersten Würfel eine 1 oder mit dem zweiten eine 6 zu würfeln, 1/5. Folglich beträgt sie für jede andere Augenzahl (1 − 1/5)/5 = 4/25. Das Augenpaar (1, 6) wird somit mit beiden Würfeln mit der Wahrscheinlichkeit 1/5 · 1/5 = 1/25 erreicht, während jedes der anderen fünf Augenpaare, die eine 7 ergeben, nur mit der Wahrscheinlichkeit 4/25 · 4/25 = 16/625 geworfen wird.
Insgesamt beträgt also die Wahrscheinlichkeit, eine 7 zu werfen, 1/25 + 5 · 16/625 = 21/125. Die Wahrscheinlichkeit, 7 zu werfen, erhöht sich also durch die Fälschung nur um 21/125 − 1/6 = 1/750.
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Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
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