Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist das Volumen?
Eine Aufgabe, die Manfred Pietsch aus Kreuzau in Nordrhein-Westfalen 2023 entwarf, handelt von einer unregelmäßigen Pyramide. Sie steht auf einer dreieckigen Grundfläche ABC, und jede ihrer drei Seitenflächen hat an der Pyramidenspitze S einen rechten Winkel. Die Inhalte der drei Seitenflächen sind 3,2 Quadratzentimeter, 4,5 Quadratzentimeter und 5 Quadratzentimeter. Wie groß ist das Volumen der Pyramide?
Stellt man die Pyramide auf ihre rechtwinklige Seitenfläche ASB, wird diese zu ihrer Grundfläche. Außerdem sieht man, dass ihre Ecken A, B, C und S auf Eckpunkte eines Quaders mit den Kantenlängen a, b und c fallen. Die Grundfläche und zwei Seitenflächen der Pyramide sind halbe Quaderflächen. Folglich haben die untere, die rechte und die hintere Quaderfläche die Inhalte ab = 2 · 3,2 cm2= 6,4 cm2, bc = 2 · 4,5 cm2 = 9 cm2 und ac = 2 · 5 cm2 = 10 cm2. Ihr Produkt beträgt ab · bc · ac = (abc)2 = 576 cm6, woraus sich das Quadervolumen abc = √(576 cm6) = 24 cm3 ergibt. Das Pyramidenvolumen ist ein Drittel des Produkts aus ihrer Grundfläche und ihrer Höhe. Da die Pyramide die Grundfläche ab/2 und die Höhe c hat, beträgt somit ihr Volumen abc/6 = 4 cm3.
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