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Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist der Abstand a?

Auf einer Geraden liegen 5 Punkte, aus denen sich 10 Paare bilden lassen. Die Abstände der 10 Paare sind der Größe nach geordnet 2, 4, 5, 7, 8, a, 13, 15, 17 und 19.
Denken

Im September 2008 stellten Richard Hoshino und Sarah McCurdy den Leserinnen und Lesern der Zeitschrift »Eureka« die folgende Aufgabe:

Auf einer Geraden liegen fünf Punkte, aus denen sich zehn verschiedene Paare bilden lassen. Die Abstände zweier Punkte aus jedem der zehn Paare sind der Größe nach aufsteigend geordnet 2, 4, 5, 7, 8, a, 13, 15, 17 und 19. Wie groß ist der Abstand a?

Wenn A, B, C, D und E die fünf Punkte sind, die in genau dieser Reihenfolge auf der Geraden liegen, muss der größte Abstand AE = 19 sein. Außerdem muss auch AB + BE = 19, AC + CE = 19 und AD + DE = 19 sein.

Von den restlichen neun Abständen 2, 4, 5, 7, 8, a, 13, 15 und 17 ergeben nur 2 + 17 = 19 und 4 + 15 = 19. Das dritte Paar muss darum a enthalten. Da a zwischen 8 und 13 liegt, kommen nur 7 + a = 7 + 12 = 19 und 8 + a = 8 + 11 = 19 in Frage.

Für den zweitgrößte Abstand gibt es die beiden Möglichkeiten AD = 17 oder BE = 17. Im ersten Fall muss außerdem AB + BD = 17 und AC + CD = 17 sein. Ein Abstandspaar ist 4 + 13 = 17 und das andere 5 + a = 5 + 12 = 17 oder 7 + a = 7 + 10 = 17 oder 8 + a = 8 + 9 = 17.

Fasst man die Ergebnisse vom größten und zweitgrößten Abstand zusammen, muss a = 12 sein. Die zweite Möglichkeit braucht man nicht weiter zu betrachten, denn sie ist nur das Spiegelbild der ersten.

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