Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist der Abstand der oberen Spitzen der äußeren Blätter?
Der Mathematik-und-Physik-Lehrer Bernd Bultmann wurde 1955 in Diepholz in Niedersachsen geboren und unterrichtete bis zu seinem Renteneintritt 2022 an der Zinzendorfschule Tossens, einem kleinen Privatgymnasium an der Nordseeküste. Er ist ein sehr umtriebiger Mann: Musiker, Karnevalist, Bumerangexperte, Geocacher und Kochbuchautor. Bultmann ist auch ein begeisterter Denksportler und hat ungezählte mathematische Knobeleien erdacht. Die heutige Kopfnuss ist sein Entwurf und stammt aus dem Jahr 2024.
Jedes Blatt dieser Blüte wird von zwei Viertelkreisen mit dem Radius 1 begrenzt. Die beiden äußeren Blätter berühren das mittlere Blatt und sind um jeweils 45 Grad gegenüber diesem verdreht. Welchen Abstand haben die oberen Spitzen der äußeren Blätter voneinander?
Zur Berechnung des Abstands d der oberen Spitzen der äußeren Blätter reicht es aus, nur einen Teil der Blüte zu betrachten. A ist der Mittelpunkt des rechten Viertelkreises des linken Blattes und D der des linken Viertelkreises des mittleren Blattes. Die beiden Radien, die zum Berührpunkt der beiden Viertelkreise laufen, bilden die Strecke AD der Länge 2. Da das Dreieck BCD rechtwinklig und gleichschenklig ist und eine Hypotenuse BD der Länge 1 hat, sind seine beiden Katheten BC und CD nach dem Satz des Pythagoras 1/2√2 lang. Auch das Dreieck ACD ist rechtwinklig. Folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras AC2 + CD2 = AD2 oder (1/2d + 1/2√2)2 – (1/2√2)2 = 22. Dies kann man zu d2 + 2√2 · d – 12 = 0 vereinfachen. Die positive Lösung dieser quadratischen Gleichung ist d = (√7 – 1)√2 ≈ 2,327.
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