Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist der Flächeninhalt?
Wie groß ist der Flächeninhalt eines regelmäßigen Zwölfecks der Seitenlänge a? Versuchen Sie die Aufgabe zu lösen, ohne Winkelfunktionen zu verwenden.
Ein regelmäßiges Zwölfeck der Seitenlänge a lässt sich in sechs Quadrate und zwölf gleichseitige Dreiecke zerlegen, die auch alle die Seitenlänge a haben. Jedes Quadrat hat den Flächeninhalt Q = aa2. Der Flächeninhalt jedes gleichseitigen Dreiecks beträgt D = ah/2, wobei sich die Höhe mit dem Satz des Pythagoras zu h = 1/2a√3 bestimmen lässt. Daraus ergibt sich D = 1/4a2√3. Somit hat das regelmäßige Zwölfeck die Fläche Z = 6Q + 12D = 6a2 + 12 · 1/4a2√3 = (6 + 3√3)a2 ≈ 11,2a2.
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Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
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