Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist der Flächeninhalt?
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Wie groß ist der Flächeninhalt eines regelmäßigen Zwölfecks der Seitenlänge a? Versuchen Sie die Aufgabe zu lösen, ohne Winkelfunktionen zu verwenden.
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Ein regelmäßiges Zwölfeck der Seitenlänge a lässt sich in sechs Quadrate und zwölf gleichseitige Dreiecke zerlegen, die auch alle die Seitenlänge a haben. Jedes Quadrat hat den Flächeninhalt Q = aa2. Der Flächeninhalt jedes gleichseitigen Dreiecks beträgt D = ah/2, wobei sich die Höhe mit dem Satz des Pythagoras zu h = 1/2a√3 bestimmen lässt. Daraus ergibt sich D = 1/4a2√3. Somit hat das regelmäßige Zwölfeck die Fläche Z = 6Q + 12D = 6a2 + 12 · 1/4a2√3 = (6 + 3√3)a2 ≈ 11,2a2.
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