Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist der Flächeninhalt?
Die heutige Knobelei hat Bernd Bultmann aus Butjadingen in Niedersachsen 2025 entworfen.
Ein Hexadekiamant ist eine Figur, die aus 16 an den Seiten zusammenhängenden gleichen gleichseitigen Dreiecken besteht. Es gibt eine Unmenge verschiedener Hexadekiamanten. Einer davon hat die Form der Ziffer 3. Dieser Hexadekiamant liegt in einem Kreis, den er an vier Punkten berührt. Der Kreis ist der Inkreis eines Quadrats. Wie groß ist der Flächeninhalt dieses Quadrats, wenn die Dreiecke des Hexadekiamanten die Seitenlänge 1 haben?
Die beiden Kreissehnen AB und CD liegen parallel zueinander. Darum läuft ihre gemeinsame Mittelsenkrechte durch den Mittelpunkt M des Kreises, der wegen der Symmetrie des Hexadekiamanten genau auf einer Ecke des Hexadekiamanten liegt. Das Dreieck NMB ist rechtwinklig. Seine horizontale Kathete hat die Länge NB = 1/2, und seine vertikale Kathete besteht aus drei Höhen eines Hexadekiamanten-Dreiecks und hat deshalb die Länge NM = 3 · 1/2√3.
Die Hypotenuse des Dreiecks NMB ist ein Kreisradius r und kann mit dem Satz des Pythagoras zu r = √((NB)2 + (NM)2) = √((1/2)2 + (3 · 1/2√3)2) = √7 berechnet werden. Da das Quadrat eine Seitenlänge von 2r hat, beträgt sein Flächeninhalt (2r)2 = (2√7)2 = 28.
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