Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist der gesuchte Abstand?
Johann Müller wurde 1436 in Königsberg in Franken geboren und starb 1476 in Rom. Er war ein bedeutender Mathematiker, Astronom und Verleger des Spätmittelalters, der in Wien, Rom und Nürnberg arbeitete. Müller nannte sich selbst in seinen Schriften Joannes de Monte Regio (Johannes von Königsberg), woraus dann im 16. Jahrhundert Regiomontanus wurde. Er begründete die moderne Trigonometrie und berechnete astronomische Tafeln, die die Entdeckungsreisen der Seefahrer des 15. und 16. Jahrhunderts erheblich erleichterten. Im Jahr 1471 beschrieb er in einem Brief an den Mathematiker Christian Roder ein kniffliges geometrisches Problem. Ich stelle es Ihnen heute als Kopfnuss.
Betrachtet jemand ein Objekt, so ist für ihn die scheinbare Größe dieses Objekts der Winkel, unter dem er es wahrnimmt. Dieser Winkel wird auch Sehwinkel genannt. In der Mitte eines großen Platzes steht eine 17,60 Meter hohe Säule, auf der eine 9 Meter hohe Statue steht. Eine Frau geht auf die Säule zu und betrachtet dabei die Statue. In welcher Entfernung zur Säule ist die scheinbare Größe oder der Sehwinkel α der Statue maximal? Die Augen der Frau sind 1,60 Meter von ihren Fußsohlen entfernt.
In der Oberstufe des Gymnasiums würde man die Aufgabe wahrscheinlich mit Hilfe der Trigonometrie und der Differenzialrechnung lösen. Dabei ist es gar nicht nötig, so schwere Geschütze aufzufahren. Es reicht die ganz elementare Geometrie aus, die schon die Griechen vor über 2000 Jahren kannten. Dazu legen wir eine Ebene EB parallel zum Boden des Platzes in der Höhe der Augen der Frau. Nun zeichnen wir einen Kreis vom Radius r mit dem Mittelpunkt M, der durch die Sohlen C und den Scheitel D der Statue, die die Größe h hat, läuft und die Ebene berührt. Den Berührpunkt nennen wir A. Die Strecke CD ist eine Sehne dieses Kreises. Für jeden Punkt P auf dem Umfang ist der Winkel CPD gleich groß. Liegt P außerhalb des Kreises, ist der Winkel CPD jedoch kleiner. Da die Augen aber nur auf der Strecke EB liegen können, ist der Sehwinkel der Statue im Punkt A maximal. Das Lot MK der Länge d auf die Sehne CD halbiert diese. Somit gilt nach dem Satz des Pythagoras d = √(r2 – 1/4h2). Mit r = 20,5 m und h = 9 m ergibt sich für den gesuchten Abstand der Frau von der Säule d = 20 m.
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