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Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist der mittlere Abstand zwischen den Strichen?

Man radiert sukzessive das mittlere Drittel aller Balken fort und wiederholt das unendlich oft, bis nur noch vertikale Striche übrig bleiben.
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Der Mathematiker Georg Cantor wurde 1845 in Sankt Petersburg geboren und lebte ab 1869 bis zu seinem Tod in Halle an der Saale, wo er eine Professur hatte. Cantor lieferte wichtige Beiträge zur modernen Mathematik. Er ist der Begründer der Mengenlehre und veränderte den Begriff der Unendlichkeit grundlegend. Der revolutionäre Gehalt seines Werks wurde lange Zeit nicht erkannt und erst im 20. Jahrhundert richtig gewürdigt.

Der nach ihm benannte Cantorstaub entsteht aus dem Zahlenbereich von 0 bis 1, der in der ersten Zeile der Skizze durch einen roten Balken dargestellt wird. Radiert man das mittlere Drittel des Balkens fort, bleiben die beiden verkürzten Balken der zweiten Zeile zurück. Nun radiert man von beiden Balken wieder jeweils das mittlere Drittel fort und erhält so die dritte Zeile der Zeichnung. Um die vierte Zeile zu erhalten, wird aus jedem Balken der dritten Zeile wieder das mittlere Drittel entfernt. Das Verfahren setzt man jetzt unendlich oft fort, so dass schließlich nur noch breitenlose vertikale Striche übrigbleiben. Diese Striche nennt man Cantorstaub.

Wie groß ist der mittlere Abstand zwischen zwei beliebigen Strichen des Cantorstaubs?

Da zur Herstellung des Cantorstaubs unendlich viele Schritte gemacht worden sind, kann man ruhig noch einen weiteren Schritt gehen, ohne dass sich etwas ändert. Um diesen zusätzlichen Schritt als ersten machen zu können, wird das gesamte Muster auf ein Drittel seiner ursprünglichen Breite gestaucht und dann zweimal unter einen Balken der Länge 1 gesetzt.

Das Ergebnis ist gleich dem ursprünglichen Muster. Um den mittleren Abstand zweier Striche des »neuen« Cantorstaubs zu bestimmen, muss man unterscheiden, ob sie beide in derselben Hälfte des Musters oder in verschiedenen Hälften liegen. Beide Möglichkeiten sind gleich wahrscheinlich. Betrachten wir zunächst den Fall, dass beide Striche in derselben Musterhälfte liegen. Durch die Stauchung des ursprünglichen Musters schrumpfen alle Abstände auf ein Drittel.

Wenn der mittlere Abstand zweier Striche des ursprünglichen Musters x betragen hat, ist er in dem gestauchten Muster auf x/3 geschrumpft. Alle Striche des ursprünglichen Musters liegen symmetrisch zum Wert 1/2. Durch die Schrumpfung und Verdopplung des Musters liegen darum alle Striche der linken Hälfte symmetrisch zum Wert 1/6 und alle Striche der rechten Hälfte zum Wert 5/6.

Befinden sich also zwei Striche in verschiedenen Hälften des Musters, beträgt ihr mittlerer Abstand 5/6 − 1/6 = 2/3. Da es gleich wahrscheinlich ist, dass zwei beliebige Striche des Cantorstaubs in derselben Musterhälfte oder in verschiedenen Musterhälften liegen, beträgt der mittlere Abstand zwischen zwei Strichen 1/2 · x/3 + 1/2 · 2/3. Das ursprüngliche Muster, bei dem zwei beliebige Striche den Abstand x haben, ist aber identisch mit dem neuen. Darum gilt x = 1/2 · x/3 + 1/2 · 2/3, was sich zu x = 2/5 vereinfachen lässt. Der mittlere Abstand zwischen zwei Strichen des Cantorstaubs beträgt also 2/5.

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