Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist der Radius?
Zwei Sehnen zerschneiden einen Halbkreis in drei Teile. Zwei Winkel und die Länge einer Sehne sind bekannt. Wie groß ist der Radius des Halbkreises?
M ist der Mittelpunkt des Halbkreisdurchmessers DA. Wir ergänzen die Zeichnung durch die beiden Sehnen AB und DC sowie die beiden Radien MB und MC. Der Winkel ADB = 19° ist ein Umfangswinkel über die Sehne AB. Folglich ist der Mittelpunktswinkel AMB über diese Sehne doppelt so groß und hat darum eine Größe von 38°. Der Winkel CBD = 26° hingegen ist ein Umfangswinkel über die Sehne DC. Somit hat der Mittelpunktswinkel CMD eine Größe von 52°. Am Mittelpunkt ergänzen sich die drei Winkel CMD, BMC und AMB zu 180°. Folglich hat der Winkel BMC die Größe 180° – 52° – 38° = 90°. Das Dreieck BMC ist daher rechtwinklig. Seine Katheten sind Halbkreisradien r, und seine Hypotenuse hat die Länge 8. Damit gilt nach dem Satz des Pythagoras r2 + r2 = 82 oder r = 4√2 ≈ 5,66.
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