Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist der Radius?
Der Stumpf eines geraden Kreiskegels hat eine Grundfläche mit dem Radius 4 und eine Deckfläche mit dem Radius 1. Im Inneren des Kegelstumpfs liegt eine Kugel, die seinen Mantel und die Mittelpunkte seiner Grund- und seiner Deckfläche berührt. Wie groß ist der Radius der Kugel?
Ein ebener Schnitt durch die Figur durch die Mittelpunkte der Grundfläche, der Deckfläche und der Kugel ist ein gleichschenkliges Trapez ABCD mit einem Inkreis. Wegen der Symmetrie gilt für die Tangenten BE = BF = 4 und CF = CG = 1. Somit ist AD = BC = BF + CF = 5. Außerdem ist AH = AE – HE = BE – CG = 3. Mit dem Satz des Pythagoras erhält man DH = √((AD)2 – (AH)2) = √(52 – 32) = 4. Folglich ist der Radius der Kugel GM = DH/2 = 2.
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Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
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