Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist der Umfang?
Die Innenwinkel eines Sechsecks sind alle gleich groß, und vier aufeinander folgende Seiten haben die Längen 5, 6, 7 und 8. Wie groß ist der Umfang des Sechsecks?
Die Summe der Innenwinkel eines n-Ecks beträgt (n – 2) · 180°. Folglich hat ein Sechseck eine Winkelsumme von 4 · 180° = 720°. Da alle Innenwinkel des Sechsecks ABCDEF gleich groß sein sollen, haben sie deshalb eine Größe von 720°/6 = 120°. Außerdem folgt daraus, dass sich gegenüberliegende Seiten Parallelen sind. Die Verlängerungen der Seiten BC und DE treffen sich im Punkt H und die Verlängerungen der Seiten AB und EF im Punkt G. Das Viereck BHEG ist ein Parallelogramm mit zwei 60°- und zwei 120°-Winkeln. Folglich sind die beiden Dreiecke CHD und AFG gleichseitig.
Somit ist CH = HD = DC = 7 und FG = GA = AF = y. Daraus folgt BH = BC + CH = 6 + 7 = 13 und HE = HD + DE = 7 + 8 = 15. Außerdem gilt HE = 15 = BG = BA + AG = 5 + y oder y = 10. Ebenso gilt BH = 13 = GE = GF + FE = y + x = 10 + x oder x = 3. Das Sechseck hat somit den Umfang 5 + 6 + 7 + 8 + 3 + 10 = 39.
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