Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist der Winkel?
Ein Punkt im Inneren eines Dreiecks wird mit seinen Ecken verbunden. Vier der dabei entstehenden Winkel haben die im Bild angegebenen Werte. Wie groß ist der mit einem Fragezeichen markierte Winkel?
Das Dreieck ABC ist gleichseitig, da die beiden Winkel CBA und ABC jeweils 60° groß sind. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass das Dreieck die Seitenlänge 1 hat. Da die Winkelsumme im Dreieck immer 180° beträgt, hat der Winkel APB im Dreieck ABP eine Größe von 180° – 20° – 10° = 150°. Für das Dreieck ABP gilt nach dem Sinussatz a/sin 10° = 1/sin 150°, woraus man a = sin 10°/sin 150° ≈ 0,34730 erhält. Wendet man nun auf das Dreieck APC den Kosinussatz an, bekommt man c2 = a2 + 12 – 2a · 1 · cos 40°, woraus sich c ≈ 0,76715 ergibt. Im letzten Schritt wird der Sinussatz auf das Dreieck APC angewendet, und man bekommt sin β/a = sin 40°/c oder sin β = a/c · sin 40°. Daraus ergibt sich β ≈ 16,918°.
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