Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist die Basis?
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Wie groß ist die Basis eines Zahlensystems, in dem 792 ein ganzzahliges Vielfaches von 297 ist?
Da in den beiden Zahlen die Ziffer 9 vorkommt, muss die Basis b mindestens 10 sein. In allen Zahlensystemen mit b ≥ 10 gilt 2b ∙ 297b < 2b ∙ 300b = 600b und außerdem 600b < 792b < 800b = 4b ∙ 200b < 4b ∙ 297b. Somit ist 2b ∙ 297b < 792b < 4b ∙ 297b, und damit muss für die gesuchte Basis b genau 792b = 3b ∙ 297b sein. Daraus ergibt sich die dezimale Gleichung 7b2 + 9b + 2 = 3(2b2 + 9b + 7), was man zu b2 – 18b – 19 = 0 zusammenfassen kann. Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen –1 und 19. Da der negative Wert ausscheidet, ist die einzige Lösung 79219 = 319 ∙ 29719.
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