Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist die Differenz?
Das Bild zeigt ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge 1 mit seinem Inkreis und seinem Umkreis. Wie groß ist die Differenz zwischen der blauen Inkreisfläche und der gesamten grünen Fläche?
In einem gleichseitigen Dreieck teilt der Schnittpunkt der drei Höhen diese im Verhältnis 1 : 2. Da der Schnittpunkt auch der Mittelpunkt des Inkreises und der des Umkreises ist, ist der Umkreisradius R doppelt so lang wie der Inkreisradius r. Folglich ist die Umkreisfläche U viermal so groß wie die Inkreisfläche I. Die Fläche des grünen Zweiecks ist ein Drittel der Differenz zwischen der Umkreisfläche und der Dreiecksfläche D, und die Fläche des grünen Dreiecks ist ein Drittel der Differenz zwischen der Dreiecksfläche und der Inkreisfläche.
Folglich beträgt die Differenz zwischen der blauen Inkreisfläche und der gesamten gelben Fläche Δ = I – (U – D)/3 – (D – I)/3, was man zu Δ = 4I/3 – U/3 zusammenfassen kann. Setzt man nun für 4I noch U ein, erhält man Δ = 0. Die blaue und die grüne Fläche sind also gleich groß.
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