Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist die Fläche des Außenkreises?
Die Grundlinien der vier gleichen Halbkreise liegen parallel oder senkrecht zueinander. Alle vier Halbkreise berühren den Innenkreis und den Außenkreis. Wie groß ist die Fläche des Außenkreises, wenn der Innenkreis den Flächeninhalt 4 und jeder Halbkreis den Flächeninhalt 18 hat?
Sind r, s und t die Radien des Innenkreises, der Halbkreise und des Außenkreises, hat das rechtwinklige Dreieck ABC die Seitenlängen r + s, s und t. Nach dem Satz des Pythagoras gilt somit t2 = (r + s)2 + s2. Die Flächeninhalte des Innenkreises und eines Halbkreises betragen πr2 = 4 und πs2/2 = 18, woraus sich r = 2/√π und s = 6/√π ergibt. Setzt man dies in die Gleichung für t2 ein, erhält man t2 = (2/√π + 6/√π)2 + (6/√π)2, was sich zu πt2 = 100 umformen lässt. Der Außenkreis hat folglich den Flächeninhalt 100.
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Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
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