Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist die Fläche?
Die Grundlinien der drei Halbkreise liegen parallel zueinander, und der gelbe Halbkreis hat den Radius 1. Wie groß ist der Flächeninhalt des roten Halbkreises?
Der gelbe, der blaue und der rote Halbkreis haben die Radien 1, R und r. Für das rechtwinklige Dreieck CDE gilt nach dem Satz des Pythagoras R2 + R2 = 12, woraus sich R = 1/2√2 ergibt. Auch auf das rechtwinklige Dreieck ABD lässt sich der Satz des Pythagoras anwenden. Er ergibt r2 + (r + R)2 = 12. Setzt man in diese Gleichung den Wert für R ein, wird daraus r2 + (r + 1/2√2)2 = 1. Sie lässt sich zur quadratischen Gleichung r2 + 1/2√2 · r – 1/4 = 0 umformen, die die positive Lösung r = (√6 – √2)/4 hat. Somit beträgt der Flächeninhalt des roten Halbkreises 1/2πr2 = 1/2π(√6 – √2)2/42, was sich zu π(2 – √3)/8 ≈ 0,105 vereinfachen lässt.
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