Rätseln mit Eder: Wie groß ist die Rechteckfläche?
Das Rechteck ABCD ist 16 Zentimeter lang.
Die Diagonale von B nach D und die Strecke von E nach F bilden einen rechten Winkel und verlaufen beide durch den Mittelpunkt M.
Die Strecke von E nach F ist 15 Zentimeter lang.
Wie groß ist die Fläche A des Rechtecks?
Die Fläche des Rechtecks ist 192 Quadratzentimeter groß.
Der Flächeninhalt des Rechtecks ist A = 16 · x.
Die Länge der Seite x muss bestimmt werden.
Die Diagonale von B nach D teilt die Strecke von E nach F in die beiden 7,5 Zentimeter langen Abschnitte. Die Strecke von E nach F teilt die Diagonale in die beiden gleich langen Abschnitte a.
Die Dreiecke DMF und BCD sind ähnlich zueinander; beide sind rechtwinklig und stimmen in den Winkeln a und b überein.
Hieraus folgt, dass entsprechende Seiten das gleiche Verhältnis haben, und es wird eine Beziehung zwischen den Variablen a und x hergestellt:
Eine weitere Beziehung zwischen a und x kann mit Hilfe des Satzes des Pythagoras in dem Dreieck BCD hergestellt werden:
In dieser Gleichung kann die Variable a durch den Term 120/x ersetzt werden.
Die Umformungen führen zu einer biquadratischen Gleichung:
Jetzt kann man den Term x2 durch die Variable y ersetzen; es entsteht eine quadratische Gleichung, die mit Hilfe der p-q-Formel gelöst werden kann:
Da y = x2, gilt:
Als Seitenlänge kommt nur der positive Wert x = 12 cm in Frage.
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