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Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist die Summe der Flächeninhalte?

Wenn das Verhältnis beider quadratischen Flächen x beträgt, wie groß sind dann beide Flächen zusammen?
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Catriona Agg ist eine britische Lehrerin, die an einer Schule in Essex Mathematik unterrichtet. Seit Mitte 2018 veröffentlicht sie alle paar Tage auf Twitter ein mathematisches Rätsel. Ihre Fan-Gemeinde ist in kürzester Zeit auf viele Tausend Mitglieder in der ganzen Welt gewachsen. Am 24. August 2019 stellte sie folgende Aufgabe:

In einem Halbkreis mit dem Radius 8 liegen zwei Quadrate so, wie es das Bild zeigt. Das Verhältnis A1/A2 der Flächeninhalte der beiden Quadrate beträgt x. Wie groß ist die Summe A1 + A2 der beiden Flächeninhalte in Abhängigkeit von x?

Die Lösung ist nicht schwer zu finden, wenn man den Halbkreis mit dem Radius r und dem Mittelpunkt M zu einem Kreis mit vier Quadraten verdoppelt.

Haben das kleine und das große Quadrat die Seitenlängen a und b, gilt für die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecksecks ABC nach dem Satz des Pythagoras c2 = (b + a)2 + (b − a)2. Dies lässt sich zu c2 = 2(a2 + b2) zusammenfassen.

Die Diagonale BD durch das obere rote und das untere grüne Quadrat schließt mit den Quadratseiten AD einen Winkel von α = 45° ein. Der Winkel β ist der Mittelpunktswinkel über demselben Bogen AB, über dem α ein Umfangswinkel ist. Folglich ist β = 2α = 90°.

Damit ist das Dreieck ABM auch rechtwinklig, und es gilt c2 = 2r2. Setzt man die beiden Gleichungen für c2 gleich, erhält man 2(a2 + b2) = 2r2 oder a2 + b2 = r2 = 64.

Das Verhältnis der Flächeninhalte der beiden Quadrate spielt dabei keine Rolle.

Quadrate im Halbkreis

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