Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist die Summe?
Addiert man die Teiler einer positiven ganzen Zahl, erhält man ihre Teilersumme. Dabei gelten 1 und die Zahl selbst auch als Teiler. So hat beispielsweise 12 die Teilersumme 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28. Ist T die Teilersumme von n, wie groß ist dann die Summe K der Kehrwerte der Teiler von n?
Zu jedem Teiler xi von n gibt es genau einen Teiler xj, so dass xi · xj = n gilt. Wir nennen xj den Partner von xi. Ist n eine Quadratzahl und xi ihre Wurzel, dann ist xi sein eigener Partner. Für alle xi gilt somit 1/xi = xj/n. Addieren wir nun links vom Gleichheitszeichen die Kehrwerte aller Teiler und rechts den n-ten Teil aller Teiler, erhalten wir 1/x1 + 1/x2 + 1/x3 + … = x1/n + x2/n + x3/n + … oder 1/x1 + 1/x2 + 1/x3 + … = (x1 + x2 + x3 + …)/n. Dies kann man zur gesuchten Lösung K = T/n zusammenfassen.
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Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
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