Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit?
Die Felder eines Schachbretts werden in zufälliger Reihenfolge von 1 bis 64 nummeriert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Brett ein Sattelfeld besitzt, also ein Feld, dessen Nummer die größte seiner Zeile und die kleinste seiner Spalte ist?
Betrachten wir zunächst einmal nur ein Zeilen-Spalten-Paar. Es enthält 15 Felder mit 15 verschiedenen Zahlen, die in 15! Weisen angeordnet werden können. Ist das der Zeile und der Spalte gemeinsame Feld ein Sattelfeld, haben alle anderen 7 Felder der Zeile kleinere und alle anderen 7 Felder der Spalte größere Zahlen als das Sattelfeld. Man kann diese Zahlen in ihrer Zeile oder ihrer Spalte umordnen, ohne dass das gemeinsame Feld die Eigenschaft, ein Sattelfeld zu sein, verliert. Dafür gibt es sowohl für die Zeile als auch für die Spalte jeweils 7! Möglichkeiten. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das Zeilen-Spalten-Paar ein Sattelfeld besitzt, (7!)2/15!. Da ein Schachbrett 8 Zeilen und 8 Spalten und somit 8 ∙ 8 = 64 Zeilen-Spalten-Paare hat, ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Brett mindestens ein Sattelfeld besitzt, 64 ∙ (7!)2/15! = 8/6435 ≈ 0,124 Prozent.
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Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
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