Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit?
Wählt man ganz zufällig vier Ecken eines regelmäßigen Achtecks aus, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass sie die Ecken eines Rechtecks sein können?
In ein regelmäßiges Achteck lassen sich zwei Quadrate und vier schlanke Rechtecke zeichnen, die mit ihren Ecken auf Ecken des Achtecks fallen. Insgesamt sind dies sechs Rechtecke. Wählt man eine Ecke des Achtecks aus, gibt es dafür 8 Möglichkeiten. Für die zweite Ecke bleiben dann noch 7 Möglichkeiten übrig, für die dritte noch 6 und für die vierte schließlich noch 5. Für die Wahl von vier Ecken gibt es also 8 · 7 · 6 · 5 = 1680 Möglichkeiten. Weil die 4 · 3 · 2 = 24 verschiedenen Reihenfolgen der vier Ecken keine Rolle spielen, bleiben jedoch nur 1680/24 = 70 Möglichkeiten. Da davon in 6 Fällen Rechtecke entstehen, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ganz zufällig gewählte vier Ecken die Ecken eines Rechtecks sein können, 6/70 = 3/35 ≈ 8,57 Prozent.
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