Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit?
Ein weit verbreitetes Puzzle für kleine Kinder, das unter dem Namen Bilderwürfel oder Würfelpuzzle bekannt ist, besteht aus zwölf gleich großen Holz- oder Kunststoffwürfeln. Auf jeder Seite jedes Würfels ist ein Ausschnitt eines Bildes zu sehen. Alle Ausschnitte sind unterschiedlich und asymmetrisch. Es gibt dabei sechs mögliche Anordnungen der Würfel zu einem 3×4-Rechteck, so dass die zwölf oben liegenden Seiten ein vollständiges, korrektes Bild ergeben, das auch nicht auf dem Kopf steht. Wenn man nun die zwölf Würfel völlig zufällig zu einem 3×4-Rechteck auslegt, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, eine dieser sechs korrekten Anordnungen zu erhalten?
Jeder der zwölf Würfel kann mit sechs verschiedenen Seiten nach oben zeigen, und jede oben liegende Seite kann vier Orientierungen haben. Dies sind insgesamt 612 · 412 = 2412 Möglichkeiten. Die zwölf Würfel können auf 12! verschiedene Weisen zu einem 3×4-Rechteck angeordnet werden. Damit erhält man insgesamt 2412 · 12! verschiedene Muster, die die zwölf Würfel bilden können. Allerdings sind nur sechs davon korrekt. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, zufällig eines dieser sechs korrekten Bilder zu legen, 6/(2412 · 12!) = 1/2 915 550 809 071 166 265 753 600 ≈ 3,43 · 10–25. Lässt man ein auf dem Kopf stehendes Bild auch als korrekt zu, verdoppelt sich die Wahrscheinlichkeit zu etwa 6,86 · 10–25. Zum Vergleich: Beim Zauberwürfel oder Rubik’s Cube ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig verdrehte Stellung die korrekte Stellung ist, etwa eine Million Mal größer, denn sie liegt bei etwa 2 · 10–20.
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Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
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