Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist dieses Quadrat?
Das mathematische Symbol für „unendlich“ hat die Form einer liegenden Acht. Es wurde 1655 von dem englischen Mathematiker John Wallis (1616–1703) eingeführt. Die hier abgebildete Version dieses Symbols ist aus zwei gleichen, sich berührenden Kreisringen konstruiert worden. Die beiden Kreisringausschnitte sind durch vier gleich lange Tangenten so miteinander verbunden worden, dass sie das orange Quadrat umschließen. Im Jahr 2022 fragte Manfred Pietsch aus Kreuzau in Nordrhein-Westfalen:
Wie groß ist der Inhalt dieses Quadrats, wenn die Innenkreise der Ringe den Radius 1 haben?
M ist der Mittelpunkt des linken Kreisrings. Da das orange Viereck ABCD ein Quadrat ist und Tangenten stets senkrecht auf ihren Berührradien stehen, ist auch das Viereck MECF ein Quadrat. Folglich muss auch das graue Viereck MGAH ein Quadrat sein. Die Strecken MF und MI sind Radien des Außenkreises. Somit gilt MF = MI oder MH + HF = MA + AI. Hat das Quadrat ABCD die Seitenlänge x, wird daraus 1 + x = √2 + 1/2x√2. Diese Gleichung kann man zu x = √2 zusammenfassen, woraus sich für das orange Quadrat ein Flächeninhalt von x2 = 2 ergibt.
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Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
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