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Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist ENIGMA?

ENIGMA ist eine 6-stellige Zahl, die keine 0 enthält. Schiebt man die Ziffern EN ans Ende, entsteht die Zahl IGMAEN, die 20 Prozent größer ist ENIGMA.
Chiffriermaschine Enigma

Seit dem 22. Februar 1979 findet man im britischen Magazin »New Scientist« eine Denksportkolumne mit dem Titel »Enigma«. Am 2. Oktober 2010 stellte Gwyn Owen darin das folgende Rätsel:

ENIGMA ist eine sechsstellige Zahl, in der keine Null vorkommt. Gleiche Buchstaben stehen für gleiche Ziffern und verschiedene Buchstaben für verschiedene Ziffern. Schiebt man die beiden Ziffern EN vom Anfang an das Ende, entsteht die Zahl IGMAEN, die um 20 Prozent größer ist als ENIGMA. Wie groß ist ENIGMA?

Nennt man die zweistellige Zahl, die von EN gebildet wird, x und die vierstellige Zahl, die von IGMA gebildet wird, y, kann man den Zusammenhang zwischen ENIGMA und IGMAEN als 6(10000x + y)/5 = 100y + x schreiben und zu 59995x = 494y zusammenfassen.

Die beiden Zahlen werden in ihre Primfaktoren zerlegt, wodurch man 5 · 13 · 13 · 71 · x = 2 · 13 · 19 · y erhält. Beide Seiten der Gleichung können durch 13 geteilt werden und man bekommt 5 · 13 · 71 · x = 2 · 19 · y. Diese Gleichung ist nur erfüllt, wenn x das n-fache von 2 · 19 = 38 und y das n-fache von 5 · 13 · 71 = 4615 ist.

Nur für n = 1 erhält man x = 38 und y = 4615 und für n = 2 bekommt man x = 76 und y = 9230. Für n > 2 ist x nicht mehr zwei- und y nicht mehr vierstellig, und die Lösung für n = 2 scheidet aus, weil y eine 0 enthält. Folglich hat ENIGMA den Wert 384615.

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