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Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist x?

digitale Zahlen

Die Folge 1, x, …, 1 000 000 ist die längste Folge natürlicher Zahlen, die mit 1 beginnt, mit 1 000 000 endet und bei der jede Zahl ab der dritten Zahl die Summe aller ihrer Vorgängerinnen ist. Wie groß ist x?

Lassen wir zunächst einmal die ersten drei Zahlen der Folge außer Betracht. Für alle anderen Zahlen gilt dann: Eine Zahl, die so groß ist wie die Summe aller ihrer Vorgängerinnen, muss doppelt so groß sein wie ihre direkte Vorgängerin. Deshalb hat die gesamte Folge die Form 1, x, (1 + x), 2(1 + x), 4(1 + x), 8(1 + x), …, 1 000 000. Die n-te Zahl hat somit für n ≥ 3 den Wert 2n – 3(1 + x). Die letzte Zahl der Folge ist 1 000 000 = 106 = 26 · 56 = 26 · 15 625 = 26(15 624 + 1). Folglich besteht die längste Folge aus neun Zahlen, und x hat den Wert 15 624.

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