Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß muss die Schachtel sein?
David Wells (*1940) betreute in den 70er Jahren die Denksportredaktion der Zeitschrift »Games and Puzzles«. Von 1981 bis 1983 gab er eine eigene Zeitschrift heraus mit dem Titel »The Problem Solver«. Wells hat etliche Bücher zur Unterhaltungsmathematik geschrieben, die zum Teil auch auf Deutsch erhältlich sind. Sind bekanntestes Werk ist das »Lexikon der Zahlen«. Das heutige Rätsel stammt aus seinem 1992 erschienenen Buch »The Penguin Book of Curious and Interesting Puzzles«.
Wie groß muss eine würfelförmige Schachtel mindestens sein, damit vier Kugeln von je 20 cm Durchmesser in ihr Platz finden?
Bei der kleinstmöglichen würfelförmigen Schachtel wird das erste Kugelpaar entlang einer Diagonalen auf den Boden gelegt. Das zweite Kugelpaar wird danach über Kreuz auf das erste Paar gesetzt. Die Mittelpunkte der vier Kugeln liegen somit auf den Ecken eines regelmäßigen Tetraeders.
Betrachtet man die Projektion der beiden unteren Kugeln auf den Schachtelboden, erkennt man, dass die Kreismittelpunkte von den Quadratecken r√2 entfernt sind. Die Diagonale des Quadrats hat folglich die Länge 2(r + r√2). Daraus ergibt sich als Seitenlänge des Quadrats r(2 + √2) ≈ 3,4142r. Da die vier Kugeln völlig symmetrisch in der Schachtel liegen, sieht die Projektion der Kugeln auf jede der sechs Seiten völlig gleich aus.
Folglich braucht man die anderen fünf Seiten nicht mehr zu untersuchen. Da die vier Kugeln alle einen Radius von 10 cm haben, muss die Schachtel mindestens eine Kantenlänge von etwa 34,142 cm besitzen.
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