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Hemmes mathematische Rätsel: Welcher Stapel enthält die gefälschten Münzen?

11 Stapel Münzen bestehen aus je 10 Vierteldollar. Ein Stapel besteht aus Fälschungen, die ein Gramm schwerer sind. Wie oft muss man die Münzen wiegen, um die Fälschungen sicher zu erkennen?
Kinderhand mit Münzen und Sparschwein

Martin Gardner (1914–2010) schrieb über 25 Jahre lang für »Scientific American« die Kolumne »Mathematical Games«, in der er unterhaltsam über die Mathematik berichtete, mathematische Spielereien und Knobeleien vorstellte und den Lesern Rätsel zu lösen gab. Die Artikel wurden zu mehr als einem Dutzend Bücher zusammengefasst und in vielen Sprachen zu Bestsellern. Ein Wägeproblem erschien erstmals 1957.

Auf einem Tisch stehen elf Stapel Münzen. Jeder besteht aus zehn Vierteldollar-Stücken. Einer enthält nur gefälschte Münzen, die alle genau ein Gramm schwerer sind als die echten. Das Gewicht eines echten Vierteldollars beträgt 5,67 Gramm. Ihnen steht eine Waage zur Verfügung, mit der sich Gewichte genau messen lassen. Mit wie vielen Wägungen kommen Sie auch ohne Glückstreffer aus, um festzustellen, welcher Stapel aus gefälschten Münzen besteht?

Man kommt mit einer einzigen Wägung aus. Dazu nimmt man vom ersten Stapel eine Münze, vom zweiten zwei Münzen, vom dritten drei und so weiter und vom zehnten Stapel zehn Münzen. Den elften Stapel lässt man unberührt.

Die 55 Münzen werden alle zusammen auf die Waage gelegt. Wären alle Münzen echt, würde die Waage 55 · 5,67 = 311,85 Gramm anzeigen. An dem Gewicht, das sie über 311,85 Gramm anzeigt, kann man den Stapel identifizieren, der aus gefälschten Münzen besteht.

Zeigt die Waage beispielsweise 5 Gramm Übergewicht an, so muss dies von fünf gefälschten Münzen herrühren, die aus dem fünften Stapel stammen. Gibt die Waage jedoch genau den Wert 311,85 Gramm an, liegen die gefälschten Münzen im elften Stapel.

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