Hemmes mathematische Rätsel: Wie hoch ist der Gewinn beziehungsweise der Verlust?
Max bietet auf dem Jahrmarkt ein einfaches Münzspiel an. Für einen Einsatz von 10 Euro darf ein Spieler so oft eine Münze werfen, bis er erstmals Kopf wirft. Erreicht er dies schon mit dem ersten Wurf, bekommt er von Max 12 = 1 Euro, erreicht er es erst mit dem zweiten Wurf, bekommt er 22 = 4 Euro und so weiter. Wirft er also erstmals mit dem n-ten Wurf Kopf, erhält er n2 Euro. Wenn sehr viele Spieler und Spielerinnen dieses Spiel bei Max gespielt haben, wie viel Euro hat er dann im Durchschnitt pro Spiel gewonnen oder verloren?
Ein Spieler kann bei einem Spiel erwarten, von Max E = (12 ∙ (1/2) + 22 ∙ (1/4) + 32 ∙ (1/8) + …) Euro zu erhalten. Die Hälfte davon ist E/2 = (12 ∙ (1/4) + 22 ∙ (1/8) + 32 ∙ (1/16) + …) Euro. Nun kann man E/2 auch durch Differenzbildung bestimmen zu E/2 = E – E/2 = (12 ∙ (1/2) + 22 ∙ (1/4) + 32 ∙ (1/8) + …) Euro – (12 ∙ (1/4) + 22 ∙ (1/8) + 32 ∙ (1/16) + …) Euro = (1/2 + 3 ∙ (1/4) + 5 ∙ (1/8) + …) Euro. Die Hälfte hiervon wiederum ist E/4 = (1/4 + 3 ∙ (1/8) + 5 ∙ (1/16) + …) Euro, woraus sich durch Differenzbildung E/4 = E/2 – E/4 = (1/2 + 3 ∙ (1/4) + 5 ∙ (1/8) + …) Euro – (1/4 + 3 ∙ (1/8) + 5 ∙ (1/16) + …) Euro = (1/2 + 2 ∙ (1/4) + 2 ∙ (1/8) + 2 ∙ (1/16) + …) Euro = (1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …) Euro ergeben. Die unendliche Reihe hat den Grenzwert E/4 = (1/2 + 1) Euro, woraus man E = 6 Euro erhält. Da der Einsatz für ein Spiel 10 Euro beträgt, hat Max einen durchschnittlichen Gewinn von 4 Euro pro Spiel.
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