Hemmes mathematische Rätsel: Wie hoch ist der Quader?
In Ägypten stehen etwa 80 Pyramiden, die alle mehrere Jahrtausende alt sind. Die größte unter ihnen ist die ungefähr 4500 Jahre alte Cheopspyramide in Gizeh. Sie wurde als Grabmal für den Pharao Cheops errichtet, der in der 4. Dynastie im Alten Reich von etwa 2620 bis 2580 v. Chr. regierte.
Die Grundfläche der Cheopspyramide ist ein Quadrat mit einem Flächeninhalt von 5,3 ha. Ihre Seitenflächen sind kongruente gleichschenklige Dreiecke mit einem Gesamtflächeninhalt von 8,6 ha.
Im März 2021 fragte Gerd Ehrhardt in den »Aachener Nachrichten« und in der »Aachener Zeitung« die Leser und Leserinnen:
Welche Höhe hätte ein Quader gleichen Volumens, der ein Fußballfeld mit einem Flächeninhalt von 0,75 ha abdecken könnte?
Die Cheopspyramide hat eine quadratische Grundfläche mit der Kantenlänge g und dem Inhalt G = g2. Wenn die Gesamtfläche der vier Pyramidenseiten S beträgt, hat jede einzelne dreieckige Seite die Fläche S/4 = gs/2. Daraus erhält man die Seitenflächenhöhe zu s = S/(2g).
Für das rechtwinklige blaue Dreieck gilt nach dem Satz des Pythagoras s2 = h2 + (g/2)2 oder h2 = s2 − g2/4. Setzt man in diese Gleichung den zuvor gefundenen Ausdruck für s ein, ergibt sich h2 = S2/(4g2) − g2/4.
Nun kann man auch noch g2 durch G ersetzten und bekommt h2 = S2/(4G) − G/4 oder h = √(S2/G − G) / 2. Die Pyramide hat das Volumen Gh/3 = G√(S2/G − G) / 6.
Es soll gleich dem Volumen xF eines Quaders sein, der die Höhe x und die Grundfläche F eines Fußballfeldes hat. Es gilt also xF = G√(S2/G − G) / 6 oder x = √(S2/G − G) · G/(6F) ≈ 346 m. Zum Vergleich: Die Türme des Kölner Doms sind nur 157 m hoch.
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