Rätseln mit Eder: Wie lang müssen a und b sein, damit das Volumen maximal ist?
Eine Verpackungsfirma benötigt quaderförmige Schachteln aus Pappe, deren Höhe genauso lang ist wie die Seite b. Zusätzlich soll für a und b gelten: a + b = 45
Welche Längen müssen die natürlichen Zahlen a und b haben, damit das Volumen der Schachtel den größten Wert annimmt?
Wenn a = 15 cm und b = 30 cm lang sind, ist das Volumen der Schachtel mit 13 500 cm3 am größten.
Erklärung
Die Formel für das Volumen eines Quaders lautet V = Länge · Breite · Höhe, für die Aufgabe ist also V = a · b · b.
Der Wert für a + b = 45 war vorgegeben, und a und b sollten natürliche Zahlen sein. Somit kommen für a und b genau 44 Lösungsmöglichkeiten infrage.
1+44=45, 2+43=45, 3+42=45, ... , 42+3=45, 43+2=45,44+1=45.
Jetzt lässt sich mit diesen Möglichkeiten das jeweilige Volumen berechnen: V1=1·44·44=1936, V2=2·43·43=3698, V3=3·42·42=5292, ... Man erkennt, dass sich das Volumen für die verschiedenen Werte von a und b verändert.
Am größten ist der Wert für V15=15·30·30=13500.
Eine elegantere Lösung lässt sich mithilfe der Differentialrechnung finden. Diese wird in den Oberstufen der Gymnasien, Gesamtschulen und Berufskollegs behandelt. Im Video wird diese Lösungsvariante gezeigt.
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