Hemmes mathematische Rätsel: Wie kann diese Wahrscheinlichkeit erreicht werden?
Zwischen 1959 und 1971 warb die Firma Litton Industries in den Zeitschriften »Aviation Week« und »Electronic News« für ihre Produkte mit Anzeigen, die jedes Mal eine mathematische Denksportaufgabe enthielten. Diese Aufgaben waren ein so großer Erfolg, dass Litton Industries sie in gesammelter Form als eine Reihe kleiner Hefte mit dem Titel »Problematical Recreations« herausgab. Später erschienen die besten dieser Probleme noch einmal in den Büchern »Mathematical Bafflers« (1964), »Second Book of Mathematical Bafflers« (1983) und »Litton’s Problematical Recreations« (1971). Die heutige Kopfnuss wurde von Litton Industries am 30. April 1962 in der »Aviation Week« veröffentlicht.
In einer Schublade liegt eine ungerade Zahl blauer und eine gerade Zahl schwarzer Socken. Wie viele blaue und wie viele schwarze Socken müssen mindestens in der Schublade liegen, damit die Wahrscheinlichkeit, daraus im Dunkeln ein Paar blaue Socken zu nehmen, genau 50 Prozent beträgt?
Ist B die Zahl der blauen und S die der schwarzen Socken, so beträgt die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine blaue Socke aus der Lade zu ziehen, B/(B + S) und die, danach noch eine blaue Socke zu ziehen, (B – 1)/(B – 1 + S). Die Wahrscheinlichkeit, nacheinander zwei blaue Socken zu ziehen, soll 50 Prozent betragen. Darum gilt B/(B + S) · (B – 1)/(B – 1 + S) = 1/2. Da B ungerade und S gerade ist, lassen sich die beiden Zahlen auch als B = 2b + 1 und S = 2s schreiben, wobei b und s die Werte 1, 2, 3 … haben können. Setzt man dies in die Gleichung ein, erhält man daraus nach einigen Umformungen die quadratische Gleichung b2 – (2s – 1/2)b – s2 – 1/2s = 0. Ihre positive Lösung ist b = s – 1/4 + 1/4 · √(32s2 + 1). Das kleinste s, das zu einer Quadratzahl unter der Wurzel führt, ist s = 3. Es ergibt b = 7. Somit liegen B = 15 blaue und S = 6 schwarze Socken in der Schublade.
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