Hemmes mathematische Rätsel: Wie kann dieses falsche Verfahren zum richtigen Ergebnis führen?
Bei einer echten gemischten Zahl sind a, b und c positive ganze Zahlen, der Bruch b/c lässt sich nicht kürzen, und für seinen Wert gilt 0 < b/c < 1. Max hat aus der echten gemischten Zahl fälschlicherweise so die Wurzel gezogen:
Für welche echten gemischten Zahlen liefert dieses falsche Verfahren trotzdem die richtigen Ergebnisse?
Quadriert man beide Seiten der Gleichung, erhält man a + b/c = a2 · b/c. Dies kann man zu a2 = a · c/b + 1 umformen. Weil a2 eine positive ganze Zahl ist, muss auch a · c/b eine positive ganze Zahl sein. Der Bruch c/b lässt sich nicht kürzen. Folglich muss a ein Teiler von b sein. Ist a = kb, dann ist k2b2 = kc + 1 oder k(kb2 – c) = 1. Also muss k ein Teiler von 1 sein. Daher ist k = 1 und deshalb a = b. Somit vereinfacht sich die Gleichung zu a2 = a · c/a + 1 oder zu c = a2 – 1. Das fehlerhafte Verfahren liefert folglich nur für die echten gemischten Zahlen a + a/(a2 – 1) = , , , , , , … richtige Ergebnisse.
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Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
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