Hemmes mathematische Rätsel: Wie kann man die Summe von Sinusfunktionen im Kopf berechnen?
Der Sinus lässt sich nur von »einfachen« Winkeln wie 0°, 30°, 45° oder 60° im Kopf berechnen.
Können Sie dennoch ohne Taschenrechner, Smartphone oder Computer die Summe sin2(1°) + sin2(2°) + sin2(3°) + … + sin2(89°) + sin2(90°) berechnen?
Der Kosinus von x unterscheidet sich vom Sinus von x nur um eine Verschiebung von 90°, es gilt also cos x = sin(90° − x). Außerdem hängen der Sinus und der Kosinus von x über den trigonometrischen Satz des Pythagoras sin2 x + cos2 x = 1 zusammen.
Quadriert man die erste Gleichung und setzt sie in die zweite ein, erhält man sin2 x + sin2(90° − x) = 1. Nun werden die Summanden der zu berechnenden Summe ein wenig umsortiert: sin2(1°) + sin2(89°) + sin2(2°) + sin2(88°) + … + sin2(44°) + sin2(46°) + sin2(45°) + sin2(90°).
Die ersten 44 Paare ergeben jeweils den Wert 1, und man bekommt
44 + (1/√2)2 + 12 = 44 + 1/2 +1 = 45,5.
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