Hemmes mathematische Rätsel: Wie lässt sich das Verhältnis ermitteln?
Der 1951 geborene Architekt Karl Flormann aus Bielefeld hat etliche Denksportaufgaben entworfen. Auch das heutige geometrische Problem stammt von ihm.
Auf einem Schachbrett liegt auf jeder Ecke seiner Felder eine Kupfermünze. Alle Münzen sind gleich groß, und ihre Mittelpunkte fallen mit den Feldecken zusammen. Außerdem liegt auf dem Schachbrett noch ein Goldreif. Sein äußerer Umfang tangiert, so wie es das Bild zeigt, zwölf Münzen, und sein innerer Umfang läuft durch die Mittelpunkte von vier Münzen. In welchem Verhältnis steht der Innendurchmesser des Goldreifs zum Durchmesser der Münzen?
Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass die Felder des Schachbretts die Seitenlänge 2 haben. Viertelt man die Felder durch Linien, die parallel zu den Seiten laufen, entsteht ein Raster aus Quadraten der Seitenlänge 1. Haben die Münzen den Radius r und hat der Reif den Außenradius Ra und den Innenradius Ri, so gilt nach dem Satz des Pythagoras für die Strecke BC = Ra + r = √(32 + 12) = √10 und für die Strecke AB = Ra – r = √(12 + 12) = √2. Subtrahiert man die beiden Gleichungen und teilt sie anschließend durch 2, bekommt man r = 1/2(√10 – √2). Für den Innenradius des Reifs gilt Ri = AB = √2. Daraus ergibt sich das Verhältnis Ri/r = √2/(1/2(√10 – √2)) = 1/2(√5 + 1) ≈ 1,618. Dies ist der berühmte goldene Schnitt.
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