Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist der Divisionsrest?
Die natürliche Zahl n hat 3000 Dezimalstellen. Alle 2999 Paare direkt nebeneinanderstehender Ziffern von n können als zweistellige Zahlen aufgefasst werden. Jede dieser zweistelligen Zahlen ist das Produkt von jeweils drei verschiedenen Primzahlen. Wie groß ist der Rest, wenn man n durch 9 teilt?
Es gibt nur fünf zweistellige Zahlen, die das Produkt von drei verschiedenen Primzahlen sind: 2 · 3 · 5 = 30, 2 · 3 · 7 = 42, 2 · 3 · 11 = 66, 2 · 5 · 7 = 70 und 2 · 3 · 13 = 78. Wäre die erste der 2999 zweistelligen Zahlen 30, 42, 70 oder 78, müsste die zweite zweistellige Zahl mit 0, 2 oder 8 beginnen, was aber nicht möglich ist. So bleibt für die erste Zahl nur 66 übrig. Aus demselben Grund können auch alle anderen zweistelligen Zahlen nur 66 sein. Folglich ist jede Ziffer von n eine 6. Somit hat n die Quersumme 3000 · 6 = 18 000. Da 18 000 durch 9 teilbar ist, ist auch n durch 9 teilbar. Der gesuchte Divisionsrest ist somit 0.
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