Hemmes mathematische Rätsel: Wie lässt sich der Radius der Kreise ermitteln?
Die populärwissenschaftliche Zeitschrift »Bild der Wissenschaft« wurde 1964 von dem Physiker und Wissenschaftsjournalisten Heinz Haber gegründet. Sie erscheint monatlich und berichtet über aktuelle Entwicklungen in Forschung und Technik. Seit 1990 findet man in jeder Ausgabe auch ein mathematisches Preisrätsel mit dem Titel »Cogito«. Die heutige Kopfnuss entwarf Manfred Pietsch aus Kreuzau in Nordrhein-Westfalen. Sie erschien in geringfügig anderer Form erstmals als Cogito-Rätsel im Januar 2023 in »Bild der Wissenschaft«.
Das Herz ist symmetrisch und aus zwei gleich großen Kreisen sowie einem auf der Spitze stehenden Quadrat, die sich alle drei gegenseitig berühren, konstruiert worden. Die beiden unteren Seiten des Quadrats sind so weit verlängert worden, bis sie jeweils einen Kreis berühren. Wie groß ist der Radius der Kreise, wenn das Quadrat den Flächeninhalt 32 hat?
Das Herz ist spiegelsymmetrisch. Darum fällt die Diagonale BD des Quadrats ABCD mit der Symmetrieachse zusammen, und die Diagonale AC und die Verbindungsstrecke MN der beiden Kreismittelpunkte stehen senkrecht zu ihr. Die Verlängerung der Quadratseite AB und die Quadratseite AD tangieren den linken Kreis in den Punkten E und F. Somit sind die Strecken AE und AF gleich lang, und die Strecke AM halbiert den rechten Winkel FAE. Entsprechendes gilt für die Tangenten am rechten Kreis. Folglich ist das rote Viereck ACNM ein Rechteck. Das Quadrat ABCD hat den Flächeninhalt 32 und somit die Seitenlänge √32 = 4√2. Daher haben seine Halbdiagonalen und deshalb auch die Kreisradien eine Länge von 4√2/√2 = 4.
Schreiben Sie uns!
1 Beitrag anzeigen