Hemmes mathematische Rätsel: Wie lässt sich die Gleichung beweisen?
In dem Dreieck ABC mit den Seitenlängen a, b und c liegt ein Punkt D. Er ist mit Strecken der Längen u, v und w mit den Ecken A, B und C verbunden. Die drei Winkel am Punkt D zwischen diesen drei Strecken sind alle 120 Grad groß. Das Dreieck PQR ist gleichseitig und hat die Seitenlänge x. In seinem Inneren liegt der Punkt S, der von den drei Ecken die Abstände a, b und c hat. Beweisen Sie, dass x = u + v + w ist.
Die drei Dreiecke, in die das Dreieck ABC unterteilt ist, lassen sich zu drei Parallelogrammen ergänzen. Deren spitze Winkel sind alle 60 Grad und deren stumpfe Winkel 120 Grad groß. Die Parallelogramme werden nun so angeordnet, dass sie jeweils mit einem spitzen Winkel im Punkt S zusammentreffen und dass die Seiten benachbarter Parallelogramme gleich lang sind und Winkel von 60 Grad einschließen. In dem Bild sieht man, dass die weißen Dreiecke zwischen den Parallelogrammen gleichseitig sind und dass deshalb auch das Dreieck PQR gleichseitig ist und eine Seitenlänge von x = u + v + w hat.
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