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Hemmes mathematische Rätsel: Wie lang ist der Weg der Kugel?

Eine Kugel wird auf einem ungewöhnlichen Billardtisch in Form eines gleichseitigen Dreiecks gestoßen und an den Banden perfekt reflektiert.
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Normalerweise sind Billardtische rechteckig und doppelt so lang wie breit. Die konkreten Maße sind nicht einheitlich festgelegt. So kann die lange Seite der Spielfläche zwischen 5 und 12 Fuß liegen, also zwischen 1,67 und 3,60 Meter. 2019 ließ Manfred Pietsch aus Kreuzau die Leserinnen und Leser der »Aachener Zeitung« und der »Aachener Nachrichten« Billard auf einen etwas ungewöhnlichen Tisch spielen.

Er hat die Form eines gleichseitigen Dreiecks mit einer Seitenlänge von einem Meter. Eine Kugel wird von einer Ecke aus einmal über alle drei Banden bis zu einer anderen Ecke gespielt. Die Kugel soll idealisiert als Punkt angenommen werden und an den Banden nach dem Reflexionsgesetz zurückprallen. Wie lang ist der Weg der Kugel?

Am einfachsten kann man das Billardproblem lösen, wenn man den Tisch viermal hintereinander zeichnet. Der erste Tisch ist das Original, der zweite ist Spiegelbild des Originals, der dritte Tisch das Spiegelbild des zweiten und der vierte Tisch das des dritten. Gespiegelt werden die Tische jeweils an der Bande, auf die die Kugel prallt.

Indem man nicht die Kugelbahn spiegelt, sondern die Tische, wird die Bahn zu einer geraden Linie. Sie ist die lange Diagonale des Parallelogramms, das die vier Tische bilden. Ergänzt man das Parallelogramm an der rechten Seite um das blaue rechtwinklige Dreieck, kann man für die Höhe h mit dem Satz des Pythagoras h2 = a2 − a2/4 = 3a2/4 berechnen.

Damit lässt sich, auch wieder mit dem Satz des Pythagoras, die Länge der Kugelbahn zu L = &radic((5a/2)2 + h2) = &radic(25a2/4 + 3a2/4) = &radic7 · a ≈ 2,646 m bestimmen.

Der dreieckige Billardtisch

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