Hemmes mathematische Rätsel: Wie lang ist der Weg des Reiters?
Eine Karawane, die eine Meile lang ist, zieht durch die Wüste. Ein Kurier reitet vom Ende der Karawane bis an ihre Spitze, und sofort wieder zurück an ihr Ende. Während dieses Rittes ist die Karawane eine Meile weitergezogen. Wie lang ist der Weg des Reiters, wenn sowohl er als auch die Karawane konstante Geschwindigkeiten haben?
Die Karawane hat die Länge L und die Geschwindigkeit v relativ zum Boden, und Kurier hat die Geschwindigkeit u relativ zum Boden. Relativ zur Karawane hat der Kurier auf dem Hinweg die Geschwindigkeit u − v und auf dem Rückweg u + v. Die Zeit t für den Hin- und den Rückweg beträgt somit t = L/(u − v) + L/(u + v).
<ü>Die Karawane legt in dieser Zeit mit der Geschwindigkeit v relativ zum Boden die Strecke L zurück, somit ist t = L/v. Die beiden Ausdrücke für t kann man gleichsetzen, und man erhält L/v = L/(u − v) + L/(u + v), was sich zu 1/v = 1/(u − v) + 1/(u + v) = 2u/(u2 − v2) vereinfachen lässt. Der Kehrwert der Gleichung ist v = (u2 − v2) /(2u). Beide Seiten werden durch u geteilt und ergeben v/u = (u2 − v2) /(2u2) = 1/2 − (v/u)2/2 oder (v/u)2 − 2 · v/u + 1 = 0.Diese quadratische Gleichung für v/u hat die positive Lösung v/u = √2 − 1 oder u/v = √2 + 1. Für den gesuchten Weg W des Reiters gilt W/L = (ut)/(vt) =u/v = √2 + 1, woraus man W = (√2 + 1)L ≈ 2,414 Meilen erhält.
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