Hemmes mathematische Rätsel: Wie lang ist die Brücke?
Ab 1993 veröffentlichte die Zeitschrift »Spektrum der Wissenschaft« einige Jahre lang monatlich ein mathematisches Preisrätsel. Das folgende Problem stammt vom Februar 1994.
»Heute Nacht habe ich geträumt, dass ich auf einer einspurigen Eisenbahnbrücke stehe. Plötzlich tauchte 10 Kilometer vom Anfang der Brücke entfernt ein Zug auf. Er kam mit einer konstanten Geschwindigkeit von 60 km/h auf mich zu. Ich konnte aber nur mit einer konstanten Geschwindigkeit von 12 km/h rennen.« – »Das war ja ein Alptraum!« – »Ach was, von dem Punkt auf der Brücke, an dem ich stand, konnte ich sowohl den Anfang als auch das Ende der Brücke gerade noch rechtzeitig erreichen.« Wissen Sie, wie lang die Traumbrücke war?
Um dieses Problem lösen zu können, braucht man nur zu wissen, dass bei einer gleichförmigen Bewegung die Geschwindigkeit das Verhältnis aus dem zurückgelegten Weg und der dafür benötigten Zeit ist.
Der Zug hat die Geschwindigkeit u und ist von der Brücke die Strecke s0 entfernt. Folglich braucht bis zum Anfang der Brücke t1 = s0/u = (10 km) / (60 km/h) = 1/6 h.
Der Träumer hat genauso lange Zeit, um bis zum vorderen Ende der Brücke zu rennen. Folglich hat der vordere Teil der Brücke die Länge s1 = vt1 = 12 km/h · 1/6 h = 2 km.
Wenn der Träumer in der Zeit t2 die Strecke s2 zum hinteren Ende der Brücke läuft, so legt in der gleichen Zeit der Zug den Weg s0 + s1 + s2 zurück. Somit gilt die Gleichung t2 = s2/v = (s0 + s1 + s2)/u.
Löst man sie auf, erhält man s2 = 3 km. Die Brücke ist somit insgesamt 2 km + 3 km = 5 km lang.
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