Hemmes mathematische Rätsel: Wie lang ist die Sehne des Kreises?
Die gelbe Fläche hat den Inhalt 2π. Die beiden kleinen Kreise werden in ihrem Berührpunkt von einer Sehne des großen Kreises tangiert. Wie lang ist die Sehne?
Der kleine, der mittlere und der große Kreis haben die Mittelpunkte A, B und C und die Radien a, b und c, wobei a + b = c ist. Somit gilt für die gelbe Fläche πc2 – πa2 – πb2 = 2π oder c2 – a2 – b2 = 2. Nun kann man den Radius des Außenkreises durch die Radien der Innenkreise ersetzen, wodurch man (a + b)2 – a2 – b2 = 2 erhält, was sich zu ab = 1 vereinfachen lässt. Für das rechtwinklige Dreieck LMC gilt nach dem Satz des Pythagoras LM2 = LC2 – MC2. Dabei ist LC der Radius c = a + b des großen Kreises und MC die Differenz 2b – c = 2b – (a + b) = b – a. Dadurch ergibt sich LM2 = (a + b)2 – (b – a)2. Dies kann man zu LM2 = 4ab = 4 ∙ 1 = 4 zusammenfassen. Folglich hat LM die Länge 2 und die gesamte Sehne LR die Länge 4.
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